วิธีการแก้สมการเชิงเส้น, เชิงกำลังสอง, ระบบ, และเชิงกำลังสามใน C++ และ Python

บทนำ

สมการคือหัวใจหลักของคณิตศาสตร์ ไม่ว่าคุณจะคำนวณฟิสิกส์, จัดการอัลกอริธึม, หรือแค่ฝึกฝน มันมีประโยชน์มากที่จะรู้วิธีการแก้สมการด้วยโค้ด มาดูสี่กรณีกัน:

1. สมการเชิงเส้น (ax + b = 0)
2. สมการเชิงกำลังสอง (ax² + bx + c = 0)
3. ระบบของสมการเชิงเส้นสองสมการ (สองตัวแปร)
4. สมการเชิงกำลังสาม (ax³ + bx² + cx + d = 0)

สำหรับแต่ละกรณี เราจะเริ่มจาก ตรรกะทางคณิตศาสตร์ แล้วกระโดดไปที่โค้ด C++ และ Python.

1. สมการเชิงเส้น (ax + b = 0)

วิธีการแก้ (คณิตศาสตร์):

• ย้าย b ไปอีกด้าน: ax = -b.
• ถ้า a = 0 และ b = 0 → มีคำตอบไม่จำกัด.
• ถ้า a = 0 และ b ≠ 0 → ไม่มีคำตอบ.
• ในกรณีอื่น ๆ, x = -b/a.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b;
    cin >> a >> b;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        if (fabs(b) < 1e-9) cout << "Infinite solutions\n";
        else cout << "No solution\n";
    } else {
        cout << "x = " << -b/a << endl;
    }
    return 0;
}

Python:

a, b = map(float, input("Enter a, b: ").split())

if abs(a) < 1e-9:
    if abs(b) < 1e-9:
        print("Infinite solutions")
    else:
        print("No solution")
else:
    print("x =", -b/a)

2. สมการเชิงกำลังสอง (ax² + bx + c = 0)

วิธีการแก้ (คณิตศาสตร์):

• คำนวณดิสคริมิแนนต์: Δ = b² − 4ac.
• ถ้า Δ < 0: ไม่มีคำตอบจริง.
• ถ้า Δ = 0: รากคู่หนึ่ง x = −b/(2a).
• ถ้า Δ > 0: รากสอง x₁, x₂ โดยใช้สูตรเชิงกำลังสอง.
• ถ้า a = 0: ลดให้เป็นเชิงเส้น.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        cout << "x = " << -c/b << "\n";
    } else {
        double delta = b*b - 4*a*c;
        if (delta < 0) cout << "No real roots\n";
        else if (fabs(delta) < 1e-9) cout << "Double root x = " << -b/(2*a) << "\n";
        else {
            cout << "x1 = " << (-b + sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
            cout << "x2 = " << (-b - sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
        }
    }
}

Python:

import math

a, b, c = map(float, input("Enter a, b, c: ").split())
if abs(a) < 1e-9:
    print("x =", -c/b)
else:
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta < 0:
        print("No real roots")
    elif abs(delta) < 1e-9:
        print("Double root x =", -b/(2*a))
    else:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta))/(2*a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta))/(2*a)
        print("x1 =", x1, "x2 =", x2)

3. ระบบของสมการเชิงเส้นสองสมการ

รูปแบบ:

ax + by = c
dx + ey = f

วิธีการแก้ (คณิตศาสตร์):

• ใช้กฎของ Cramer.
• ดีเทอร์มิแนนต์: D = ae - bd.
• ถ้า D ≠ 0: x = (ce - bf) / D y = (af - cd) / D
  • x = (ce - bf) / D
  • y = (af - cd) / D
• ถ้า D = 0: ถ้า Dx = 0 และ Dy = 0 → มีคำตอบไม่จำกัด. ในกรณีอื่น → ไม่มีคำตอบ.
  • ถ้า Dx = 0 และ Dy = 0 → มีคำตอบไม่จำกัด.
  • ในกรณีอื่น → ไม่มีคำตอบ.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d,e,f;
    cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;

    double D  = a*e - b*d;
    double Dx = c*e - b*f;
    double Dy = a*f - c*d;

    if (fabs(D) < 1e-9) {
        if (fabs(Dx) < 1e-9 && fabs(Dy) < 1e-9) cout << "Infinite solutions\n";
        else cout << "No solution\n";
    } else {
        cout << "x = " << Dx/D << ", y = " << Dy/D << "\n";
    }
}

Python:

a, b, c, d, e, f = map(float, input("Enter a,b,c,d,e,f: ").split())

D  = a*e - b*d
Dx = c*e - b*f
Dy = a*f - c*d

if abs(D) < 1e-9:
    if abs(Dx) < 1e-9 and abs(Dy) < 1e-9:
        print("Infinite solutions")
    else:
        print("No solution")
else:
    x = Dx / D
    y = Dy / D
    print("x =", x, "y =", y)

4. สมการเชิงกำลังสาม (ax³ + bx² + cx + d = 0)

วิธีการแก้ (คณิตศาสตร์):

• วิธีทั่วไป: ใช้สูตรของ Cardano.
• แทนที่เพื่อเอา x² ออก: ตั้งค่า x = t - b/(3a).
• รูปแบบที่ลดลง: t³ + pt + q = 0.
• ดิสคริมิแนนต์: Δ = (q/2)² + (p/3)³. ถ้า Δ > 0: 1 รากจริง, 2 รากเชิงซ้อน. ถ้า Δ = 0: มีรากจริงอย่างน้อย 2 รากที่เท่ากัน. ถ้า Δ < 0: 3 รากจริงที่แตกต่างกัน.
  • ถ้า Δ > 0: 1 รากจริง, 2 รากเชิงซ้อน.
  • ถ้า Δ = 0: มีรากจริงอย่างน้อย 2 รากที่เท่ากัน.
  • ถ้า Δ < 0: 3 รากจริงที่แตกต่างกัน.
• พูดตามตรง การเขียนสูตรของ Cardano ใน C++ มันค่อนข้างยุ่งยาก ใน Python เราสามารถใช้ NumPy ได้ง่าย ๆ.

C++ (ทำให้เรียบง่ายสำหรับรากจริงหนึ่ง):

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d;
    cin >> a >> b >> c >> d;

    double f = ((3*c/a) - (b*b)/(a*a)) / 3;
    double g = ((2*b*b*b)/(a*a*a) - (9*b*c)/(a*a) + (27*d/a)) / 27;
    double h = g*g/4 + f*f*f/27;

    if (h > 0) {
        double R = -(g/2) + sqrt(h);
        double S = cbrt(R);
        double T = -(g/2) - sqrt(h);
        double U = cbrt(T);
        double x1 = (S+U) - (b/(3*a));
        cout << "One real root x = " << x1 << "\n";
    } else {
        cout << "Multiple real roots (needs full Cardano)\n";
    }
}

Python (NumPy):

import numpy as np

coeffs = list(map(float, input("Enter a, b, c, d: ").split()))
roots = np.roots(coeffs)
print("Roots:", roots)

บทสรุป

เราได้พูดคุยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และโค้ดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น, เชิงกำลังสอง, ระบบ 2×2, และสมการเชิงกำลังสาม C++ สร้างสูตรด้วยมือ; Python ทำให้ทุกอย่างกระชับ (และ NumPy หาเชิงกำลังสามได้ง่าย) ลองนำแต่ละตัวแก้สมการไปใช้เองเพื่อพัฒนาทักษะทั้งด้านพีชคณิตและการเขียนโปรแกรม.