Введение

Уравнения — это основа математики. Независимо от того, рассчитываете ли вы физику, работаете с алгоритмами или просто практикуетесь, полезно знать, как решать их с помощью кода. Давайте рассмотрим четыре случая:

  1. Линейное уравнение (ax + b = 0)
  2. Квадратное уравнение (ax² + bx + c = 0)
  3. Система из двух линейных уравнений (две неизвестные)
  4. Кубическое уравнение (ax³ + bx² + cx + d = 0)

Для каждого случая мы начнем с математической логики, а затем перейдем к коду на C++ и Python.

1. Линейное уравнение (ax + b = 0)

Как решить (математика):

  • Переносим b на другую сторону: ax = -b.
  • Если a = 0 и b = 0 → бесконечно много решений.
  • Если a = 0 и b ≠ 0 → нет решения.
  • В противном случае, x = -b/a.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b;
    cin >> a >> b;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        if (fabs(b) < 1e-9) cout << "Бесконечно много решений\n";
        else cout << "Нет решения\n";
    } else {
        cout << "x = " << -b/a << endl;
    }
    return 0;
}

Python:

a, b = map(float, input("Введите a, b: ").split())

if abs(a) < 1e-9:
    if abs(b) < 1e-9:
        print("Бесконечно много решений")
    else:
        print("Нет решения")
else:
    print("x =", -b/a)

2. Квадратное уравнение (ax² + bx + c = 0)

Как решить (математика):

  • Вычислите дискриминант: Δ = b² − 4ac.
  • Если Δ < 0: нет действительного решения.
  • Если Δ = 0: один двойной корень x = −b/(2a).
  • Если Δ > 0: два корня x₁, x₂ с использованием квадратной формулы.
  • Если a = 0: свести к линейному уравнению.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        cout << "x = " << -c/b << "\n";
    } else {
        double delta = b*b - 4*a*c;
        if (delta < 0) cout << "Нет действительных корней\n";
        else if (fabs(delta) < 1e-9) cout << "Двойной корень x = " << -b/(2*a) << "\n";
        else {
            cout << "x1 = " << (-b + sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
            cout << "x2 = " << (-b - sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
        }
    }
}

Python:

import math

a, b, c = map(float, input("Введите a, b, c: ").split())
if abs(a) < 1e-9:
    print("x =", -c/b)
else:
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta < 0:
        print("Нет действительных корней")
    elif abs(delta) < 1e-9:
        print("Двойной корень x =", -b/(2*a))
    else:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta))/(2*a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta))/(2*a)
        print("x1 =", x1, "x2 =", x2)

3. Система из двух линейных уравнений

Форма:

ax + by = c
dx + ey = f

Как решить (математика):

  • Используйте правило Крамера.
  • Детерминант: D = ae - bd.
  • Если D ≠ 0: x = (ce - bf) / D y = (af - cd) / D
    • x = (ce - bf) / D
    • y = (af - cd) / D
  • Если D = 0: Если оба Dx = 0 и Dy = 0 → бесконечно много решений. В противном случае → нет решения.
    • Если оба Dx = 0 и Dy = 0 → бесконечно много решений.
    • В противном случае → нет решения.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d,e,f;
    cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;

    double D  = a*e - b*d;
    double Dx = c*e - b*f;
    double Dy = a*f - c*d;

    if (fabs(D) < 1e-9) {
        if (fabs(Dx) < 1e-9 && fabs(Dy) < 1e-9) cout << "Бесконечно много решений\n";
        else cout << "Нет решения\n";
    } else {
        cout << "x = " << Dx/D << ", y = " << Dy/D << "\n";
    }
}

Python:

a, b, c, d, e, f = map(float, input("Введите a,b,c,d,e,f: ").split())

D  = a*e - b*d
Dx = c*e - b*f
Dy = a*f - c*d

if abs(D) < 1e-9:
    if abs(Dx) < 1e-9 and abs(Dy) < 1e-9:
        print("Бесконечно много решений")
    else:
        print("Нет решения")
else:
    x = Dx / D
    y = Dy / D
    print("x =", x, "y =", y)

4. Кубическое уравнение (ax³ + bx² + cx + d = 0)

Как решить (математика):

  • Общий метод: используйте формулу Кардано.
  • Подставьте, чтобы убрать член x²: установите x = t - b/(3a).
  • Упрощенная форма: t³ + pt + q = 0.
  • Дискриминант: Δ = (q/2)² + (p/3)³. Если Δ > 0: 1 действительный корень, 2 комплексных корня. Если Δ = 0: как минимум 2 равных действительных корня. Если Δ < 0: 3 различных действительных корня.
    • Если Δ > 0: 1 действительный корень, 2 комплексных корня.
    • Если Δ = 0: как минимум 2 равных действительных корня.
    • Если Δ < 0: 3 различных действительных корня.
  • Честно говоря, кодировать формулу Кардано на C++ немного сложно. В Python мы можем просто использовать NumPy.

C++ (упрощенный для одного действительного корня):

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d;
    cin >> a >> b >> c >> d;

    double f = ((3*c/a) - (b*b)/(a*a)) / 3;
    double g = ((2*b*b*b)/(a*a*a) - (9*b*c)/(a*a) + (27*d/a)) / 27;
    double h = g*g/4 + f*f*f/27;

    if (h > 0) {
        double R = -(g/2) + sqrt(h);
        double S = cbrt(R);
        double T = -(g/2) - sqrt(h);
        double U = cbrt(T);
        double x1 = (S+U) - (b/(3*a));
        cout << "Один действительный корень x = " << x1 << "\n";
    } else {
        cout << "Несколько действительных корней (нужна полная формула Кардано)\n";
    }
}

Python (NumPy):

import numpy as np

coeffs = list(map(float, input("Введите a, b, c, d: ").split()))
roots = np.roots(coeffs)
print("Корни:", roots)

Заключение

Мы рассмотрели математику и код для решения линейных, квадратных, 2×2 систем и кубических уравнений. C++ строит формулы вручную; Python делает все более лаконично (а NumPy легко находит кубические корни). Попробуйте реализовать каждый решатель самостоятельно, чтобы развить как алгебраические, так и программные навыки.