Introdução

Equações são o pão com manteiga da matemática. Seja calculando física, lidando com algoritmos ou apenas praticando, é super útil saber como resolvê-las com código. Vamos olhar para quatro casos:

  1. Equação linear (ax + b = 0)
  2. Equação quadrática (ax² + bx + c = 0)
  3. Sistema de duas equações lineares (duas incógnitas)
  4. Equação cúbica (ax³ + bx² + cx + d = 0)

Para cada um, começaremos com a lógica matemática, e depois partiremos para o código em C++ e Python.

1. Equação Linear (ax + b = 0)

Como resolver (matemática):

  • Mova b para o outro lado: ax = -b.
  • Se a = 0 e b = 0 → infinitas soluções.
  • Se a = 0 e b ≠ 0 → nenhuma solução.
  • Caso contrário, x = -b/a.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b;
    cin >> a >> b;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        if (fabs(b) < 1e-9) cout << "Soluções infinitas\n";
        else cout << "Sem solução\n";
    } else {
        cout << "x = " << -b/a << endl;
    }
    return 0;
}

Python:

a, b = map(float, input("Digite a, b: ").split())

if abs(a) < 1e-9:
    if abs(b) < 1e-9:
        print("Soluções infinitas")
    else:
        print("Sem solução")
else:
    print("x =", -b/a)

2. Equação Quadrática (ax² + bx + c = 0)

Como resolver (matemática):

  • Calcule o discriminante: Δ = b² − 4ac.
  • Se Δ < 0: nenhuma solução real.
  • Se Δ = 0: uma raiz dupla x = −b/(2a).
  • Se Δ > 0: duas raízes x₁, x₂ usando a fórmula quadrática.
  • Se a = 0: reduza para linear.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        cout << "x = " << -c/b << "\n";
    } else {
        double delta = b*b - 4*a*c;
        if (delta < 0) cout << "Sem raízes reais\n";
        else if (fabs(delta) < 1e-9) cout << "Raiz dupla x = " << -b/(2*a) << "\n";
        else {
            cout << "x1 = " << (-b + sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
            cout << "x2 = " << (-b - sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
        }
    }
}

Python:

import math

a, b, c = map(float, input("Digite a, b, c: ").split())
if abs(a) < 1e-9:
    print("x =", -c/b)
else:
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta < 0:
        print("Sem raízes reais")
    elif abs(delta) < 1e-9:
        print("Raiz dupla x =", -b/(2*a))
    else:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta))/(2*a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta))/(2*a)
        print("x1 =", x1, "x2 =", x2)

3. Sistema de Duas Equações Lineares

Forma:

ax + by = c
dx + ey = f

Como resolver (matemática):

  • Use a regra de Cramer.
  • Determinante: D = ae - bd.
  • Se D ≠ 0: x = (ce - bf) / D y = (af - cd) / D
    • x = (ce - bf) / D
    • y = (af - cd) / D
  • Se D = 0: Se ambos Dx = 0 e Dy = 0 → infinitas soluções. Caso contrário → nenhuma solução.
    • Se ambos Dx = 0 e Dy = 0 → infinitas soluções.
    • Caso contrário → nenhuma solução.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d,e,f;
    cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;

    double D  = a*e - b*d;
    double Dx = c*e - b*f;
    double Dy = a*f - c*d;

    if (fabs(D) < 1e-9) {
        if (fabs(Dx) < 1e-9 && fabs(Dy) < 1e-9) cout << "Soluções infinitas\n";
        else cout << "Sem solução\n";
    } else {
        cout << "x = " << Dx/D << ", y = " << Dy/D << "\n";
    }
}

Python:

a, b, c, d, e, f = map(float, input("Digite a,b,c,d,e,f: ").split())

D  = a*e - b*d
Dx = c*e - b*f
Dy = a*f - c*d

if abs(D) < 1e-9:
    if abs(Dx) < 1e-9 and abs(Dy) < 1e-9:
        print("Soluções infinitas")
    else:
        print("Sem solução")
else:
    x = Dx / D
    y = Dy / D
    print("x =", x, "y =", y)

4. Equação Cúbica (ax³ + bx² + cx + d = 0)

Como resolver (matemática):

  • Método geral: use a fórmula de Cardano.
  • Substitua para remover o termo x²: defina x = t - b/(3a).
  • Forma reduzida: t³ + pt + q = 0.
  • Discriminante: Δ = (q/2)² + (p/3)³. Se Δ > 0: 1 raiz real, 2 raízes complexas. Se Δ = 0: pelo menos 2 raízes reais iguais. Se Δ < 0: 3 raízes reais distintas.
    • Se Δ > 0: 1 raiz real, 2 raízes complexas.
    • Se Δ = 0: pelo menos 2 raízes reais iguais.
    • Se Δ < 0: 3 raízes reais distintas.
  • Honestamente, codificar a fórmula de Cardano em C++ é um pouco doloroso. Em Python, podemos usar o NumPy.

C++ (simplificado para uma raiz real):

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d;
    cin >> a >> b >> c >> d;

    double f = ((3*c/a) - (b*b)/(a*a)) / 3;
    double g = ((2*b*b*b)/(a*a*a) - (9*b*c)/(a*a) + (27*d/a)) / 27;
    double h = g*g/4 + f*f*f/27;

    if (h > 0) {
        double R = -(g/2) + sqrt(h);
        double S = cbrt(R);
        double T = -(g/2) - sqrt(h);
        double U = cbrt(T);
        double x1 = (S+U) - (b/(3*a));
        cout << "Uma raiz real x = " << x1 << "\n";
    } else {
        cout << "Múltiplas raízes reais (precisa da fórmula completa de Cardano)\n";
    }
}

Python (NumPy):

import numpy as np

coeffs = list(map(float, input("Digite a, b, c, d: ").split()))
roots = np.roots(coeffs)
print("Raízes:", roots)

Conclusão

Nós cobrimos a matemática e o código para resolver equações lineares, quadráticas, sistemas 2×2 e equações cúbicas. C++ constrói as fórmulas manualmente; Python mantém as coisas concisas (e o NumPy encontra raízes cúbicas facilmente). Tente implementar cada solucionador você mesmo para desenvolver tanto habilidades algébricas quanto de programação.