はじめに

方程式は数学の基本です。物理を計算したり、アルゴリズムを扱ったり、ただ練習したりする際に、コードで解く方法を知っておくと非常に便利です。ここでは、4つのケースを見ていきましょう:

  1. 線形方程式 (ax + b = 0)
  2. 二次方程式 (ax² + bx + c = 0)
  3. 2つの線形方程式の連立 (2つの未知数)
  4. 三次方程式 (ax³ + bx² + cx + d = 0)

それぞれについて、数学の論理から始め、次に C++ と Python のコードに飛び込みます。

1. 線形方程式 (ax + b = 0)

解き方 (数学):

  • bを反対側に移動: ax = -b.
  • a = 0 かつ b = 0 の場合 → 無限に多くの解が存在します。
  • a = 0 かつ b ≠ 0 の場合 → 解なし。
  • それ以外の場合、x = -b/a.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b;
    cin >> a >> b;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        if (fabs(b) < 1e-9) cout << "無限の解\n";
        else cout << "解なし\n";
    } else {
        cout << "x = " << -b/a << endl;
    }
    return 0;
}

Python:

a, b = map(float, input("a, b を入力してください: ").split())

if abs(a) < 1e-9:
    if abs(b) < 1e-9:
        print("無限の解")
    else:
        print("解なし")
else:
    print("x =", -b/a)

2. 二次方程式 (ax² + bx + c = 0)

解き方 (数学):

  • 判別式を計算: Δ = b² − 4ac.
  • Δ < 0 の場合: 実数解なし。
  • Δ = 0 の場合: 重解 x = −b/(2a).
  • Δ > 0 の場合: 二つの解 x₁, x₂ を二次方程式の公式を使って求めます。
  • a = 0 の場合: 線形に簡略化。

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        cout << "x = " << -c/b << "\n";
    } else {
        double delta = b*b - 4*a*c;
        if (delta < 0) cout << "実数解なし\n";
        else if (fabs(delta) < 1e-9) cout << "重解 x = " << -b/(2*a) << "\n";
        else {
            cout << "x1 = " << (-b + sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
            cout << "x2 = " << (-b - sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
        }
    }
}

Python:

import math

a, b, c = map(float, input("a, b, c を入力してください: ").split())
if abs(a) < 1e-9:
    print("x =", -c/b)
else:
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta < 0:
        print("実数解なし")
    elif abs(delta) < 1e-9:
        print("重解 x =", -b/(2*a))
    else:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta))/(2*a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta))/(2*a)
        print("x1 =", x1, "x2 =", x2)

3. 2つの線形方程式の連立

形式:

ax + by = c
dx + ey = f

解き方 (数学):

  • クレーマーの法則を使用します。
  • 行列式: D = ae - bd.
  • D ≠ 0 の場合: x = (ce - bf) / D y = (af - cd) / D
    • x = (ce - bf) / D
    • y = (af - cd) / D
  • D = 0 の場合: Dx = 0 かつ Dy = 0 の場合 → 無限に多くの解が存在します。 それ以外の場合 → 解なし。
    • Dx = 0 かつ Dy = 0 の場合 → 無限に多くの解が存在します。
    • それ以外の場合 → 解なし。

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d,e,f;
    cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;

    double D  = a*e - b*d;
    double Dx = c*e - b*f;
    double Dy = a*f - c*d;

    if (fabs(D) < 1e-9) {
        if (fabs(Dx) < 1e-9 && fabs(Dy) < 1e-9) cout << "無限の解\n";
        else cout << "解なし\n";
    } else {
        cout << "x = " << Dx/D << ", y = " << Dy/D << "\n";
    }
}

Python:

a, b, c, d, e, f = map(float, input("a,b,c,d,e,f を入力してください: ").split())

D  = a*e - b*d
Dx = c*e - b*f
Dy = a*f - c*d

if abs(D) < 1e-9:
    if abs(Dx) < 1e-9 and abs(Dy) < 1e-9:
        print("無限の解")
    else:
        print("解なし")
else:
    x = Dx / D
    y = Dy / D
    print("x =", x, "y =", y)

4. 三次方程式 (ax³ + bx² + cx + d = 0)

解き方 (数学):

  • 一般的な方法: カルダノの公式を使用します。
  • x²項を取り除くために代入: x = t - b/(3a) とします。
  • 簡略化された形: t³ + pt + q = 0.
  • 判別式: Δ = (q/2)² + (p/3)³. Δ > 0 の場合: 1つの実根、2つの複素根。 Δ = 0 の場合: 少なくとも2つの等しい実根。 Δ < 0 の場合: 3つの異なる実根。
    • Δ > 0 の場合: 1つの実根、2つの複素根。
    • Δ = 0 の場合: 少なくとも2つの等しい実根。
    • Δ < 0 の場合: 3つの異なる実根。
  • 正直、C++ でカルダノの公式をコーディングするのは少し大変です。Python では NumPy を使うだけで済みます。

C++ (1つの実根のために簡略化):

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d;
    cin >> a >> b >> c >> d;

    double f = ((3*c/a) - (b*b)/(a*a)) / 3;
    double g = ((2*b*b*b)/(a*a*a) - (9*b*c)/(a*a) + (27*d/a)) / 27;
    double h = g*g/4 + f*f*f/27;

    if (h > 0) {
        double R = -(g/2) + sqrt(h);
        double S = cbrt(R);
        double T = -(g/2) - sqrt(h);
        double U = cbrt(T);
        double x1 = (S+U) - (b/(3*a));
        cout << "1つの実根 x = " << x1 << "\n";
    } else {
        cout << "複数の実根 (完全なカルダノが必要)\n";
    }
}

Python (NumPy):

import numpy as np

coeffs = list(map(float, input("a, b, c, d を入力してください: ").split()))
roots = np.roots(coeffs)
print("根:", roots)

結論

線形、二次、2×2 の連立方程式、三次方程式を解くための数学とコードをカバーしました。C++ は手動で公式を構築しますが、Python は簡潔に保ちます (NumPy は三次根を簡単に見つけます)。各ソルバーを自分で実装して、代数とプログラミングスキルを向上させてみてください。