Introduzione

Le equazioni sono il pane quotidiano della matematica. Che tu stia calcolando fisica, gestendo algoritmi o semplicemente praticando, è super utile sapere come risolverle con il codice. Diamo un'occhiata a quattro casi:

  1. Equazione lineare (ax + b = 0)
  2. Equazione quadratica (ax² + bx + c = 0)
  3. Sistema di due equazioni lineari (due incognite)
  4. Equazione cubica (ax³ + bx² + cx + d = 0)

Per ciascuna, inizieremo con la logica matematica, poi passeremo al codice in C++ e Python.

1. Equazione Lineare (ax + b = 0)

Come risolvere (matematica):

  • Sposta b dall'altra parte: ax = -b.
  • Se a = 0 e b = 0 → infinite soluzioni.
  • Se a = 0 e b ≠ 0 → nessuna soluzione.
  • Altrimenti, x = -b/a.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b;
    cin >> a >> b;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        if (fabs(b) < 1e-9) cout << "Soluzioni infinite\n";
        else cout << "Nessuna soluzione\n";
    } else {
        cout << "x = " << -b/a << endl;
    }
    return 0;
}

Python:

a, b = map(float, input("Inserisci a, b: ").split())

if abs(a) < 1e-9:
    if abs(b) < 1e-9:
        print("Soluzioni infinite")
    else:
        print("Nessuna soluzione")
else:
    print("x =", -b/a)

2. Equazione Quadratica (ax² + bx + c = 0)

Come risolvere (matematica):

  • Calcola il discriminante: Δ = b² − 4ac.
  • Se Δ < 0: nessuna soluzione reale.
  • Se Δ = 0: una radice doppia x = −b/(2a).
  • Se Δ > 0: due radici x₁, x₂ usando la formula quadratica.
  • Se a = 0: riduci a lineare.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        cout << "x = " << -c/b << "\n";
    } else {
        double delta = b*b - 4*a*c;
        if (delta < 0) cout << "Nessuna radice reale\n";
        else if (fabs(delta) < 1e-9) cout << "Radice doppia x = " << -b/(2*a) << "\n";
        else {
            cout << "x1 = " << (-b + sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
            cout << "x2 = " << (-b - sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
        }
    }
}

Python:

import math

a, b, c = map(float, input("Inserisci a, b, c: ").split())
if abs(a) < 1e-9:
    print("x =", -c/b)
else:
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta < 0:
        print("Nessuna radice reale")
    elif abs(delta) < 1e-9:
        print("Radice doppia x =", -b/(2*a))
    else:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta))/(2*a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta))/(2*a)
        print("x1 =", x1, "x2 =", x2)

3. Sistema di Due Equazioni Lineari

Forma:

ax + by = c
dx + ey = f

Come risolvere (matematica):

  • Usa la regola di Cramer.
  • Determinante: D = ae - bd.
  • Se D ≠ 0:x = (ce - bf) / D y = (af - cd) / D
    • x = (ce - bf) / D
    • y = (af - cd) / D
  • Se D = 0:Se entrambi Dx = 0 e Dy = 0 → infinite soluzioni. Altrimenti → nessuna soluzione.
    • Se entrambi Dx = 0 e Dy = 0 → infinite soluzioni.
    • Altrimenti → nessuna soluzione.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d,e,f;
    cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;

    double D  = a*e - b*d;
    double Dx = c*e - b*f;
    double Dy = a*f - c*d;

    if (fabs(D) < 1e-9) {
        if (fabs(Dx) < 1e-9 && fabs(Dy) < 1e-9) cout << "Soluzioni infinite\n";
        else cout << "Nessuna soluzione\n";
    } else {
        cout << "x = " << Dx/D << ", y = " << Dy/D << "\n";
    }
}

Python:

a, b, c, d, e, f = map(float, input("Inserisci a,b,c,d,e,f: ").split())

D  = a*e - b*d
Dx = c*e - b*f
Dy = a*f - c*d

if abs(D) < 1e-9:
    if abs(Dx) < 1e-9 and abs(Dy) < 1e-9:
        print("Soluzioni infinite")
    else:
        print("Nessuna soluzione")
else:
    x = Dx / D
    y = Dy / D
    print("x =", x, "y =", y)

4. Equazione Cubica (ax³ + bx² + cx + d = 0)

Come risolvere (matematica):

  • Metodo generale: usa la formula di Cardano.
  • Sostituisci per rimuovere il termine x²: imposta x = t - b/(3a).
  • Forma ridotta: t³ + pt + q = 0.
  • Discriminante: Δ = (q/2)² + (p/3)³.Se Δ > 0: 1 radice reale, 2 radici complesse. Se Δ = 0: almeno 2 radici reali uguali. Se Δ < 0: 3 radici reali distinte.
    • Se Δ > 0: 1 radice reale, 2 radici complesse.
    • Se Δ = 0: almeno 2 radici reali uguali.
    • Se Δ < 0: 3 radici reali distinte.
  • Onestamente, codificare la formula di Cardano in C++ è un po' doloroso. In Python, possiamo semplicemente usare NumPy.

C++ (semplificato per una radice reale):

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d;
    cin >> a >> b >> c >> d;

    double f = ((3*c/a) - (b*b)/(a*a)) / 3;
    double g = ((2*b*b*b)/(a*a*a) - (9*b*c)/(a*a) + (27*d/a)) / 27;
    double h = g*g/4 + f*f*f/27;

    if (h > 0) {
        double R = -(g/2) + sqrt(h);
        double S = cbrt(R);
        double T = -(g/2) - sqrt(h);
        double U = cbrt(T);
        double x1 = (S+U) - (b/(3*a));
        cout << "Una radice reale x = " << x1 << "\n";
    } else {
        cout << "Radici reali multiple (richiede Cardano completo)\n";
    }
}

Python (NumPy):

import numpy as np

coeffs = list(map(float, input("Inserisci a, b, c, d: ").split()))
roots = np.roots(coeffs)
print("Radici:", roots)

Conclusione

Abbiamo coperto la matematica e il codice per risolvere equazioni lineari, quadratiche, sistemi 2×2 e cubiche. C++ costruisce le formule a mano; Python mantiene le cose concise (e NumPy trova facilmente le radici cubiche). Prova a implementare ciascun risolutore tu stesso per sviluppare sia le abilità algebriche che quelle di programmazione.