Einführung

Gleichungen sind das A und O der Mathematik. Egal, ob du Physik berechnest, Algorithmen bearbeitest oder einfach nur übst, es ist super nützlich zu wissen, wie man sie mit Code löst. Lass uns vier Fälle anschauen:

  1. Lineare Gleichung (ax + b = 0)
  2. Quadratische Gleichung (ax² + bx + c = 0)
  3. System von zwei linearen Gleichungen (zwei Unbekannte)
  4. Kubische Gleichung (ax³ + bx² + cx + d = 0)

Für jede werden wir mit der mathematischen Logik beginnen und dann in C++ und Python Code eintauchen.

1. Lineare Gleichung (ax + b = 0)

Wie man löst (Mathematik):

  • Bewege b auf die andere Seite: ax = -b.
  • Wenn a = 0 und b = 0 → unendlich viele Lösungen.
  • Wenn a = 0 und b ≠ 0 → keine Lösung.
  • Andernfalls, x = -b/a.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b;
    cin >> a >> b;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        if (fabs(b) < 1e-9) cout << "Unendliche Lösungen\n";
        else cout << "Keine Lösung\n";
    } else {
        cout << "x = " << -b/a << endl;
    }
    return 0;
}

Python:

a, b = map(float, input("Gib a, b ein: ").split())

if abs(a) < 1e-9:
    if abs(b) < 1e-9:
        print("Unendliche Lösungen")
    else:
        print("Keine Lösung")
else:
    print("x =", -b/a)

2. Quadratische Gleichung (ax² + bx + c = 0)

Wie man löst (Mathematik):

  • Berechne die Diskriminante: Δ = b² − 4ac.
  • Wenn Δ < 0: keine reelle Lösung.
  • Wenn Δ = 0: eine doppelte Wurzel x = −b/(2a).
  • Wenn Δ > 0: zwei Wurzeln x₁, x₂ mit der quadratischen Formel.
  • Wenn a = 0: auf linear reduzieren.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;

    if (fabs(a) < 1e-9) {
        cout << "x = " << -c/b << "\n";
    } else {
        double delta = b*b - 4*a*c;
        if (delta < 0) cout << "Keine reellen Wurzeln\n";
        else if (fabs(delta) < 1e-9) cout << "Doppelte Wurzel x = " << -b/(2*a) << "\n";
        else {
            cout << "x1 = " << (-b + sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
            cout << "x2 = " << (-b - sqrt(delta))/(2*a) << "\n";
        }
    }
}

Python:

import math

a, b, c = map(float, input("Gib a, b, c ein: ").split())
if abs(a) < 1e-9:
    print("x =", -c/b)
else:
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta < 0:
        print("Keine reellen Wurzeln")
    elif abs(delta) < 1e-9:
        print("Doppelte Wurzel x =", -b/(2*a))
    else:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta))/(2*a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta))/(2*a)
        print("x1 =", x1, "x2 =", x2)

3. System von zwei linearen Gleichungen

Form:

ax + by = c
dx + ey = f

Wie man löst (Mathematik):

  • Verwende die Cramersche Regel.
  • Determinante: D = ae - bd.
  • Wenn D ≠ 0: x = (ce - bf) / D y = (af - cd) / D
    • x = (ce - bf) / D
    • y = (af - cd) / D
  • Wenn D = 0: Wenn sowohl Dx = 0 als auch Dy = 0 → unendlich viele Lösungen. Ansonsten → keine Lösung.
    • Wenn sowohl Dx = 0 als auch Dy = 0 → unendlich viele Lösungen.
    • Ansonsten → keine Lösung.

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d,e,f;
    cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;

    double D  = a*e - b*d;
    double Dx = c*e - b*f;
    double Dy = a*f - c*d;

    if (fabs(D) < 1e-9) {
        if (fabs(Dx) < 1e-9 && fabs(Dy) < 1e-9) cout << "Unendliche Lösungen\n";
        else cout << "Keine Lösung\n";
    } else {
        cout << "x = " << Dx/D << ", y = " << Dy/D << "\n";
    }
}

Python:

a, b, c, d, e, f = map(float, input("Gib a,b,c,d,e,f ein: ").split())

D  = a*e - b*d
Dx = c*e - b*f
Dy = a*f - c*d

if abs(D) < 1e-9:
    if abs(Dx) < 1e-9 and abs(Dy) < 1e-9:
        print("Unendliche Lösungen")
    else:
        print("Keine Lösung")
else:
    x = Dx / D
    y = Dy / D
    print("x =", x, "y =", y)

4. Kubische Gleichung (ax³ + bx² + cx + d = 0)

Wie man löst (Mathematik):

  • Allgemeine Methode: Verwende die Formel von Cardano.
  • Substituiere, um den x²-Term zu entfernen: setze x = t - b/(3a).
  • Reduzierte Form: t³ + pt + q = 0.
  • Diskriminante: Δ = (q/2)² + (p/3)³. Wenn Δ > 0: 1 reelle Wurzel, 2 komplexe Wurzeln. Wenn Δ = 0: mindestens 2 gleichwertige reelle Wurzeln. Wenn Δ < 0: 3 verschiedene reelle Wurzeln.
    • Wenn Δ > 0: 1 reelle Wurzel, 2 komplexe Wurzeln.
    • Wenn Δ = 0: mindestens 2 gleichwertige reelle Wurzeln.
    • Wenn Δ < 0: 3 verschiedene reelle Wurzeln.
  • Ehrlich gesagt, das Programmieren der Cardanoschen Formel in C++ ist ein bisschen mühsam. In Python können wir einfach NumPy verwenden.

C++ (vereinfacht für eine reelle Wurzel):

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d;
    cin >> a >> b >> c >> d;

    double f = ((3*c/a) - (b*b)/(a*a)) / 3;
    double g = ((2*b*b*b)/(a*a*a) - (9*b*c)/(a*a) + (27*d/a)) / 27;
    double h = g*g/4 + f*f*f/27;

    if (h > 0) {
        double R = -(g/2) + sqrt(h);
        double S = cbrt(R);
        double T = -(g/2) - sqrt(h);
        double U = cbrt(T);
        double x1 = (S+U) - (b/(3*a));
        cout << "Eine reelle Wurzel x = " << x1 << "\n";
    } else {
        cout << "Mehrere reelle Wurzeln (benötigt vollständige Cardano)\n";
    }
}

Python (NumPy):

import numpy as np

coeffs = list(map(float, input("Gib a, b, c, d ein: ").split()))
roots = np.roots(coeffs)
print("Wurzeln:", roots)

Fazit

Wir haben die Mathematik und den Code zum Lösen von linearen, quadratischen, 2×2-Systemen und kubischen Gleichungen behandelt. C++ erstellt die Formeln von Hand; Python hält die Dinge prägnant (und NumPy findet kubische Wurzeln ganz einfach). Versuche, jeden Löser selbst zu implementieren, um sowohl algebraische als auch Programmierfähigkeiten aufzubauen.